Distribuzione normale

La distribuzione normale, o gaussiana, è una delle distribuzioni di probabilità continue più importanti in statistica e probabilità. È spesso chiamata la “curva a campana” a causa della sua forma caratteristica.

Caratteristiche chiave della distribuzione normale:

1. Parametri:

   • Media $(\mu )$: Rappresenta il valore atteso o il centro della distribuzione.
   • Deviazione standard ($\sigma$): Misura la dispersione dei dati attorno alla media.

2. Notazione:

   • Una variabile casuale che segue una distribuzione normale con media $\mu$ e deviazione standard $\sigma$ viene denotata come $X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$.

3. Funzione di Densità di Probabilità: La funzione di densità di probabilità (pdf) della distribuzione normale è data da: $f(x;\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$

4. Forma della Curva:

   • La distribuzione normale è simmetrica rispetto alla sua media e assume una forma a campana.
   • Circa il 68% dei dati si trova entro una deviazione standard dalla media ((\mu \pm \sigma)).
   • Circa il 95% dei dati si trova entro due deviazioni standard dalla media ((\mu \pm 2\sigma)).
   • Circa il 99.7% dei dati si trova entro tre deviazioni standard dalla media ((\mu \pm 3\sigma)).

5. Standardizzazione:

   • La standardizzazione è il processo di trasformare una variabile normale in una variabile standard normale ($Z$), con media 0 e deviazione standard 1: $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$

6. Tabella Z:

   • La tabella Z viene spesso utilizzata per trovare le probabilità associate ai valori standardizzati nella distribuzione normale standard.

7. Esempio:

   • Supponiamo che le altezze di una popolazione siano distribuite normalmente con una media di 170 cm e una deviazione standard di 10 cm. Una persona scelta a caso da questa popolazione avrà un’altezza che segue una distribuzione normale con $X\sim \mathcal{N}(170,100)$.

La distribuzione normale è fondamentale in molti campi, inclusi l’analisi statistica, l’inferenza statistica, la teoria delle probabilità e molti modelli matematici e scientifici. La sua importanza deriva anche dal teorema del limite centrale, che afferma che la somma di un gran numero di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite segue una distribuzione normale, indipendentemente dalla forma della distribuzione originale.