Teorema del limite massimo

Introduzione §

Iniziamo con l’idea principale. Immaginate di avere una sequenza di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite (iid). La Legge del Limite Massimo si concentra su ciò che accade quando consideriamo il massimo di queste variabili in una sequenza finita.

Definizione Formale: §

Sia $X_1,X_2,\dots ,X_n$ una sequenza di variabili casuali iid con funzione di distribuzione cumulativa $F(x)$. La distribuzione dei massimi $\{M_n\}$, dove $M_n=\max (X_1,X_2,\dots ,X_n)$, può essere descritta in termini di una funzione di distribuzione estrema $G(x)$ come segue:

${\lim }_{n\to \infty }P\left(\frac{M_n-b_n}{a_n}\le x\right)=G(x)$

dove $a_n>0$ e $b_n$ sono sequenze di costanti.

Significato Intuitivo: §

In parole più semplici, la Legge del Limite Massimo ci dice cosa succede alla distribuzione del massimo quando la dimensione del campione $n$ cresce all’infinito. La distribuzione dei massimi converge a una distribuzione estrema $G(x)$, spesso chiamata “distribuzione di Gumbel” o “distribuzione di Frechet”, a seconda delle condizioni specifiche.

Applicazioni Pratiche: §

Questa teoria è fondamentale in vari campi, come l’ingegneria, l’idrologia e l’assicurazione, dove è cruciale comprendere e quantificare gli eventi estremi, come ad esempio le massime piene di un fiume, i massimi di temperatura, o le perdite finanziarie eccezionali.

Conclusioni: §

In sintesi, la Legge del Limite Massimo ci fornisce uno strumento potente per modellare e comprendere gli eventi estremi in una sequenza di variabili casuali. Attraverso questa teoria, possiamo fare previsioni e analisi più robuste nelle situazioni in cui gli eventi eccezionali giocano un ruolo critico.

Certamente! Ecco un breve esercizio che coinvolge il Teorema del Limite Massimo:

Esercizio: §

Supponiamo di avere una sequenza di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite (iid) $X_1,X_2,\dots ,X_n$, ognuna con una distribuzione esponenziale di parametro $\lambda$, cioè $X_i\sim \text{Exp}(\lambda )$. La nostra variabile di interesse è la perdita massima in $n$ partite di poker, $M_n=\max (X_1,X_2,\dots ,X_n)$. Utilizzando la Legge del Limite Massimo, determina la distribuzione limite di $M_n$ quando $n$ tende all’infinito.

Soluzione: §

Passo 1: Identificare la distribuzione di $X_i$: Poiché $X_i$ segue una distribuzione esponenziale, la sua funzione di distribuzione cumulativa è $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ per $x\ge 0$.

Passo 2: Trovare la funzione di distribuzione di $M_n$: La distribuzione di $M_n$ è la funzione di distribuzione cumulativa della variabile massima. Per $M_n$, la sua funzione di distribuzione cumulativa è $P(M_n\le x)=[F(x){]}^n$.

Passo 3: Applicare la Legge del Limite Massimo: Considerando il limite quando $n$ tende all’infinito, otteniamo: ${\lim }_{n\to \infty }P(M_n\le x)={\lim }_{n\to \infty }[1-e^{-\lambda x}{]}^n$

Passo 4: Determinare la Distribuzione Limite: Per determinare la distribuzione limite, notiamo che l’espressione assomiglia al termine di una funzione esponenziale. Possiamo applicare il limite di una funzione esponenziale alla potenza infinita, ottenendo: ${\lim }_{n\to \infty }[1-e^{-\lambda x}{]}^n=e^{-e^{-\lambda x}}$

Quindi, la distribuzione limite di $M_n$ è una distribuzione di Gumbel con parametro di posizione $0$ e parametro di scala $1/\lambda$.

Nota: Questo esercizio illustra come la Legge del Limite Massimo può essere applicata a una sequenza di variabili casuali esponenziali per trovare la distribuzione limite della loro massima.