Distribuzione Normale Multivariata

La distribuzione normale multivariata (DMN) è una generalizzazione della distribuzione normale univariata a più di una dimensione. Essa è completamente definita da un vettore di medie e una matrice di covarianza. La DMN è ampiamente utilizzata nelle statistiche, nell’analisi dei dati e in molte applicazioni pratiche in cui si lavora con più variabili casuali.

Ecco le caratteristiche principali della distribuzione normale multivariata:

1. Parametri:

   • Vettore di Medie ($\mathbf{\mu }$): Indica il centro della distribuzione multivariata e contiene le medie delle singole variabili.
   • Matrice di Covarianza ($\mathbf{\Sigma }$): Rappresenta le variazioni congiunte tra le variabili e la loro dispersione individuale: è una matrice perché le variabili sono molteplici, e quindi bisogna esprimere la covarianza come una matrice dove l’entry “i;j” indica la covarianza tra la variabile i e la variabile j.

2. Notazione:

   • Una variabile aleatoria multivariata è spesso rappresentata come un vettore casuale$\mathbf{X}=[X_1,X_2,\dots ,X_k]$, dove $k$ è il numero di variabili.
   • La distribuzione normale multivariata è indicata come $\mathbf{X}\sim {\mathcal{N}}_k(\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })$, dove $k$ è la dimensione del vettore casuale.

3. Funzione di Densità di Probabilità:

   • La funzione di densità di probabilità (PDF) per la distribuzione normale multivariata è espressa come: $f(\mathbf{x};\mathbf{\mu },\mathbf{\Sigma })=\frac{1}{(2\pi {)}^{k/2}|\mathbf{\Sigma }{|}^{1/2}}\exp \left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu }{)}^T{\mathbf{\Sigma }}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu })\right)$ dove$\mathbf{x}$è il vettore casuale, $|\mathbf{\Sigma }|$ è il determinante della matrice di covarianza e $(\mathbf{x}-\mathbf{\mu }{)}^T$ rappresenta la trasposta della differenza tra $\mathbf{x}$ e $\mathbf{\mu }$.

4. Proprietà:

   • La DMN è completamente descritta dalle sue prime e seconde statistiche centrali (medie e covarianze).
   • Se le variabili sono indipendenti o se la matrice di covarianza è diagonale, la distribuzione multivariata si scompone nelle distribuzioni marginali univariate.

5. Ellissi di Probabilità:

   • La DMN è caratterizzata da ellissi di probabilità nel caso bidimensionale (due variabili). La forma e l’orientamento di queste ellissi sono influenzati dalla matrice di covarianza.

6. Applicazioni:

   • La DMN è utilizzata in diverse aree, tra cui analisi finanziaria, modellazione statistica, riconoscimento di pattern, analisi delle immagini e altro ancora.

La distribuzione normale multivariata è uno strumento potente quando si tratta di modellare le relazioni complesse tra più variabili casuali. La sua comprensione e l’uso adeguato possono migliorare la precisione delle analisi statistiche e delle previsioni in contesti multidimensionali.