Distribuzione di Poisson

Certamente! La distribuzione di Poisson è una distribuzione di probabilità discreta che modella il numero di eventi rari che si verificano in un intervallo fisso di tempo o spazio. È particolarmente utile quando gli eventi sono indipendenti e la probabilità di un evento in un intervallo di tempo o spazio è costante.

Caratteristiche chiave della distribuzione di Poisson: §

1. Parametro:

   • $\lambda$ (lambda) - rappresenta il tasso di eventi, cioè il numero medio di eventi che si verificano in un intervallo di tempo o spazio specifico.

2. Notazione:

   • Una variabile casuale che segue una distribuzione di Poisson con parametro (\lambda) viene denotata come $X\sim \text{Pois}(\lambda )$.

3. Funzione di Probabilità: La probabilità di ottenere esattamente $k$ eventi in un intervallo è data dalla formula di Poisson: $P(X=k)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$ dove $e$ è la costante di Nepero (aprossimativamente $2.71828$).

4. Aspettativa e Varianza:

   • L’aspettativa (o valore atteso) della distribuzione di Poisson è $E(X)=\lambda$.
   • La varianza della distribuzione di Poisson è $Var(X)=\lambda$.

5. Approssimazione di Bernoulli:

   • Quando il numero di tentativi $n$ di una distribuzione binomiale diventa grande e la probabilità di successo $p$ diventa piccola, la distribuzione binomiale può essere approssimata da una distribuzione di Poisson con $\lambda =np$.

Esempio: §

• Se sappiamo che in media ci sono 4 automobili che passano attraverso un casello autostradale ogni 10 minuti, possiamo modellare il numero di automobili che passano in un minuto con una distribuzione di Poisson: $X\sim \text{Pois}(0.4)$.

La distribuzione di Poisson trova applicazione in vari contesti, come ad esempio nelle scienze naturali, nell’ingegneria del traffico, nella teoria delle code, nella biologia molecolare e in altri settori in cui si contano eventi rari ma omogenei nel tempo o nello spazio.