Disuguaglianza di Chebyshev

La disuguaglianza di Chebyshev è un risultato importante in teoria delle probabilità e fornisce una stima superiore alla probabilità che una variabile casuale si discosti dalla sua media. Questa disuguaglianza è particolarmente utile quando la forma esatta della distribuzione di probabilità non è nota.

La disuguaglianza di Chebyshev afferma che, per qualsiasi variabile casuale con media $\mu$ e deviazione standard $\sigma$, la probabilità che la variabile casuale si discosti da $\mu$ di almeno $k$ deviazioni standard è limitata da:

$P(|X-\mu |\ge k\sigma )\le \frac{1}{k^2}$

dove $k$ è un numero reale maggiore di 1.

Alcuni punti chiave relativi a questa disuguaglianza:

1. Interpretazione:

   • La disuguaglianza di Chebyshev fornisce una stima della probabilità che una variabile casuale si discosti da almeno $k$ deviazioni standard dalla sua media. Maggiore è il valore di $k$, minore sarà la probabilità di discostamento.

2. Applicazioni:

   • La disuguaglianza di Chebyshev è utile quando si conosce la media e la deviazione standard di una variabile casuale, ma non si conosce la forma precisa della distribuzione. Può essere applicata a qualsiasi distribuzione.

3. Limiti Asintotici:

   • La disuguaglianza di Chebyshev diventa più stringente al crescere di $k$. Quando $k$ tende all’infinito, la probabilità di discostamento si avvicina a zero.

4. Confronto con Distribuzioni Normali:

   • In molti casi, la disuguaglianza di Chebyshev è meno precisa di stime basate sulla distribuzione normale, specialmente quando la distribuzione della variabile casuale è approssimativamente normale.

Esempio: §

• Se consideriamo una variabile casuale $X$ con media $\mu$ e deviazione standard $\sigma$, la disuguaglianza di Chebyshev può essere utilizzata per stimare la probabilità che $X$ si discosti di almeno $2\sigma$ dalla media: $P(|X-\mu |\ge 2\sigma )\le \frac{1}{4}$.

In sintesi, la disuguaglianza di Chebyshev fornisce un legame generale tra la deviazione standard di una variabile casuale e la probabilità di discostamento dalla media, senza fare assunzioni specifiche sulla forma della distribuzione.