Distribuzione binomiale

Certamente! La distribuzione binomiale è una distribuzione di probabilità discreta che descrive il numero di successi in una sequenza di $n$ esperimenti indipendenti e identicamente distribuiti (IID), ognuno dei quali può avere solo due risultati possibili: “successo” o “fallimento”. Questi esperimenti sono noti come “Bernoulli trials”.

Caratteristiche chiave della distribuzione binomiale:

1. Parametri:

   • $n$ - il numero totale di esperimenti (o prove).
   • $p$ - la probabilità di successo in ogni singolo esperimento.

2. Notazione:

   • Una variabile casuale che segue una distribuzione binomiale con parametri $n$ e $p$ viene denotata come $X\sim \text{Bin}(n,p)$.

3. Funzione di Probabilità: La probabilità di ottenere $k$ successi in $n$ esperimenti è data dalla formula della distribuzione binomiale: $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$ dove $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ rappresenta il coefficiente binomiale, che calcola il numero di modi in cui $k$ successi possono verificarsi in una sequenza di $n$ esperimenti.

4. Aspettativa e Varianza:

   • L’aspettativa (o valore atteso) di una distribuzione binomiale è (E(X) = np).
   • La varianza della distribuzione binomiale è (Var(X) = np(1-p)).
   • La deviazione standard è (\sigma = \sqrt{np(1-p)}).

5. Esempio:

   • Supponiamo di lanciare una moneta equa (probabilità di testa (p = 0.5)) cinque volte. La variabile casuale che rappresenta il numero di teste ha una distribuzione binomiale: (X \sim \text{Bin}(5, 0.5)).

La distribuzione binomiale è spesso utilizzata per modellare situazioni in cui ci sono due esiti possibili e gli esperimenti sono indipendenti, come lanciare una moneta, tiri di dado, o contare il numero di successi in una serie di prove mediche.