Funzione di ripartizione

Una funzione di ripartizione, anche chiamata funzione distribuzione cumulativa (CDF, Cumulative Distribution Function in inglese), è una funzione matematica che fornisce la probabilità che una variabile casuale assuma un valore minore o uguale a un dato punto. In altre parole, la CDF di una variabile casuale $X$, spesso indicata con $F(x)$, è definita come:

$F(x)=P(X\le x)$

Dove:

• $F(x)$ rappresenta la probabilità che la variabile casuale $X$ assuma un valore minore o uguale a $x$.
• $x$ è il valore per il quale stiamo valutando la probabilità.
• $P(\cdot )$ indica la probabilità.

La funzione di ripartizione ha alcune proprietà fondamentali:

1. Non-decrescenza: $F(x_1)\le F(x_2)$ se $x_1\le x_2$.
2. Limiti ai margini: $F(-\infty )=0$ e $F(\infty )=1$.
3. Continuità a destra: La funzione è continua da destra, il che significa che ${\lim }_{h\to 0^{+}}F(x+h)=F(x)$ per ogni $x$.

La funzione di ripartizione è una rappresentazione chiave delle caratteristiche di una distribuzione di probabilità. Da essa, è possibile ottenere informazioni sulla probabilità di eventi in un determinato intervallo e valutare la forma generale della distribuzione. Quando stiamo lavorando con una variabile casuale continua, la CDF può essere ottenuta attraverso l’integrazione della funzione di densità di probabilità (pdf).