Il teorema di Cramer Rao

Il teorema di Cramér-Rao è un risultato fondamentale nella teoria delle stime statistiche. Esso fornisce un limite inferiore alla varianza di qualsiasi stimatore non distorto di un parametro di una distribuzione di probabilità.

Principali Punti del Teorema di Cramér-Rao: §

1. Stimatori Non Distorti:

   • Il teorema di Cramér-Rao si applica solo agli stimatori non distorti, cioè agli stimatori la cui media campionaria coincide con il valore del parametro che stanno cercando di stimare.

2. Varianza Minima:

   • Il teorema dimostra che, sotto certe condizioni, la varianza di qualsiasi stimatore non distorto è sempre maggiore o uguale all’inverso dell’informazione di Fisher, che è una misura della quantità di informazione contenuta nei dati rispetto al parametro.

3. Informazione di Fisher:

   • L’informazione di Fisher ($I(\theta )$) misura la sensibilità della funzione di verosimiglianza rispetto al parametro $\theta$. Maggiore è l’informazione di Fisher, più precisione è possibile ottenere nella stima del parametro.

4. Espressione Matematica:

   • Se $T$ è uno stimatore non distorto per il parametro $\theta$, allora la varianza di $T$ soddisfa l’ineguaglianza di Cramér-Rao: $\text{Var}(T)\ge \frac{1}{I(\theta )}$
   • L’uguaglianza si verifica solo quando $T$ è uno stimatore efficiente, ovvero quando raggiunge il limite imposto dal teorema.

Applicazioni e Importanza: §

• Il teorema di Cramér-Rao è ampiamente utilizzato per valutare la precisione degli stimatori e per determinare se uno stimatore è efficiente (ossia se raggiunge il limite di varianza imposto dal teorema).

• Questo teorema è particolarmente rilevante nell’ambito dell’estimazione di massima verosimiglianza (MLE), dove si cerca di massimizzare la funzione di verosimiglianza per ottenere stimatori non distorti e efficienti.

• Il teorema di Cramér-Rao è un importante strumento nella valutazione delle prestazioni degli stimatori, ma richiede che alcune condizioni siano soddisfatte, come la regolarità della famiglia della distribuzione di probabilità e la possibilità di scambiare derivazione e integrazione.