Derivate Parziali e Gradiente

Derivate Parziali: §

Le derivate parziali sono un concetto fondamentale del calcolo a più variabili. Quando si ha una funzione di più variabili, una derivata parziale misura il tasso di variazione della funzione rispetto a una variabile mentre le altre rimangono costanti. Ad esempio, se si ha una funzione$f(x,y)$, la derivata parziale rispetto a$x$, indicata come$\frac{\partial f}{\partial x}$, rappresenta il tasso di variazione di$f$rispetto a$x$mentre$y$è mantenuto costante.

Formalmente, la derivata parziale di$f$rispetto a$x$si calcola come:

$\frac{\partial f}{\partial x}={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$

Analogamente, si può calcolare la derivata parziale rispetto a$y$, indicata come$\frac{\partial f}{\partial y}$.

Gradiente: §

Il gradiente è un concetto che generalizza le derivate parziali in più dimensioni. Per una funzione$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$, il gradiente è un vettore che contiene le derivate parziali rispetto a ciascuna variabile. Il gradiente è indicato con il simbolo del nabla ($\nabla$) e si scrive come:

$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$

Il gradiente indica la direzione di massima crescita della funzione e la sua magnitudine rappresenta il tasso di variazione massimo della funzione in quella direzione.

Rapporto tra Derivate Parziali e Gradiente: §

Il gradiente è essenzialmente un vettore formato da tutte le derivate parziali di una funzione rispetto alle sue variabili. In altre parole, il gradiente racchiude tutte le informazioni sulle variazioni della funzione rispetto alle singole variabili.

Il rapporto tra una derivata parziale e il gradiente è che una derivata parziale è un componente del gradiente. Ad esempio, nel caso di una funzione bidimensionale$f(x,y)$, il gradiente è$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$. Ogni componente del gradiente è una derivata parziale rispetto alla variabile corrispondente.

In breve, mentre le derivate parziali forniscono informazioni sulle variazioni della funzione rispetto a singole variabili, il gradiente riassume queste informazioni in un vettore che indica la direzione di massima crescita e la magnitudine della variazione massima della funzione.